Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho a,b,c dương và abc=1
CMR: \(\frac{a^4}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b^4}{2\left(a+c\right)^2}+\frac{c^4}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{c^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{a^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{8}\)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)
a ) sqrt{frac{a^2}{b^2+left(c+aright)^2}}+sqrt{frac{b^2}{c^2+left(a+bright)^2}}+sqrt{frac{c^2}{a^2+left(b+cright)^2}}lefrac{3}{sqrt{5}}
với a,b,c là các số thực dương
b ) cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc1. tìm GTNN của biểu thức
Pfrac{left(1+aright)^2+b^2+5}{ab+a+4}+frac{left(1+bright)^2+c^2+5}{bc+b+4}+frac{left(1+cright)^2+a^2+5}{ca+c+4}
Đọc tiếp
a ) \(\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{c^2+\left(a+b\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\)
với a,b,c là các số thực dương
b ) cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}+\frac{\left(1+b\right)^2+c^2+5}{bc+b+4}+\frac{\left(1+c\right)^2+a^2+5}{ca+c+4}\)
cho a, b, c là các số thực dương thảo mãn abc=1 chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(b+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
18 tháng 1 2020 lúc 17:19
Cho a,b,c > 0. Cmr: \(\frac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{c^2+\left(a+b\right)^2}\le\frac{6}{5}\)
Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=5\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\end{matrix}\right.\)
CMR :\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
26 tháng 6 2020 lúc 9:22
Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c3.$ Chứng minh rằng$:$
$$ frac 1{8 + 5(b^2 + c^2)} + frac 1{8 + 5(c^2 + a^2)} + frac 1{8 + 5(a^2 + b^2)}le frac 1{6},$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $abc$ hoặc $abfrac{c}{13}$ và các hoán vị.
Ji Chen đưa ra một kiểu SOS rất khủng$:$
$frac{11664}{5}left(frac{1}{6}-sum{frac{1}{8+5b^2+5c^2}}right)prod{left(8+5b^2+5c^2right)}$
$23050prod{(b-c)^2}+sum{Big{left(a^2-bcright)left[5left(66-7sqrt{34}right)-25left(2-3sqrt{34}right)aright]}$
${-(a-1)left[...
Đọc tiếp
Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng$:$
$$ \frac 1{8 + 5(b^2 + c^2)} + \frac 1{8 + 5(c^2 + a^2)} + \frac 1{8 + 5(a^2 + b^2)}\le \frac 1{6},$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b=\frac{c}{13}$ và các hoán vị.
Ji Chen đưa ra một kiểu SOS rất khủng$:$
$\frac{11664}{5}\left(\frac{1}{6}-\sum{\frac{1}{8+5b^2+5c^2}}\right)\prod{\left(8+5b^2+5c^2\right)}$
$=23050\prod{(b-c)^2}+\sum{\Big\{\left(a^2-bc\right)\left[5\left(66-7\sqrt{34}\right)-25\left(2-3\sqrt{34}\right)a\right]}$
${-(a-1)\left[75\sqrt{34}a^2+15\left(18+5\sqrt{34}\right)a+6\left(23-5\sqrt{34}\right)\right]\Big\}^2}\geq 0.$
Mặt khác bài này rất hay và có nhiều kiểu SOS đẹp, mọi người thử tìm xem$?$
Hay thậm chí là những cách giải khác ngoài SOS cho bài này$?$
23 tháng 4 2020 lúc 10:57
CMR: \(\frac{a}{bc\left(a+c\right)}+\frac{b}{ac\left(a+b\right)}+\frac{c}{ab\left(b+c\right)}\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\)
(a,b,c là số thực dương)
(được sử dụng bất đẳng thức causy schwar dạng engle)
(trích để thi quốc gia rumani 2004)