Question

Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể tích hộp là 4 lít Giả sử độ dày lớp mạ tại mọi điểm trên một là như nhau.Gọi chiều cao và cạnh đáy hộp lần lượt là h và x. Giá trị của x và h để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất

Answer 1

Gọi cạnh đáy là \(a\) , chiều cao là \(h\)

Diện tích đáy là: \(a2\).

Diện tích xung quanh là: \(4ah\)

Ta có:\(V=a^2.h=4\Rightarrow ah=\dfrac{4}{a}\left(\cdot\right)\)

Lượng vàng cần phải dùng là: \(a^2+4ah=a^2+\dfrac{16}{a}\)

Xét hàm số \(f\left(a\right)=a^2+\dfrac{16}{a};a>0\)

Ta có: \(f'\left(a\right)=2a-\dfrac{16}{a^2}\)

\(f'\left(a\right)=0\Leftrightarrow2a-\dfrac{16}{a^2}=0\Leftrightarrow\dfrac{2a^3-16}{a}=0\Leftrightarrow a=2\)

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số \(f\left(a\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a=2\), thay vào \(\left(\cdot\right)\) suy ra \(h=1\)

Answer 2

Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Diện tích đáy là: a2.

Diện tích xung quanh là: 4ah

Ta có:V=a2h=4⇒ah=4a(∗)

Lượng vàng cần phải dùng là: a2+4ah=a2+16a

Xét hàm số f(a)=a2+16a,a>0

Ta có: f′(a)=2a−16a2

f′(a)=0⇔2a−16a2=0⇔2a3−16a2=0⇔a=2

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.