Question

Một quốc gia có dân số năm 2011 là \(P\) triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng \(a\% \). Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Answer 1

Giả sử dân số của quốc gia đó từ năm 2011 đến năm 2021 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = P\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = P\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{a}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{a}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{a}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_{11}} = {u_{10}} + {u_{10}}.\frac{a}{{100}} = {u_{10}}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\end{array}\)

Vậy dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + \frac{a}{{100}}\).