Gọi số tuổi của 33 bạn lần lượt là: a1,a2,a3,…,a33.
Giả sử không có bất kì 20 bạn nào trong lớp có tổng số tuổi lớn hơn 260, nghĩa là 20 bạn bất kì luôn có số tuổi bé hơn hoặc bằng 260.
Ta xét 33 nhóm, mỗi nhóm gồm 20 bạn học sinh như sau:
Nhóm 1 gồm: a1,a2,a3,…,a20 có tổng số tuổi là S1
Nhóm 2 gồm: a2,a3,a4,…,a21 có tổng số tuổi là S2
Nhóm 3 gồm: a3,a4,a5,…,a22 có tổng số tuổi là S3
...
Nhóm 33 gồm: a33,a1,a2,…,a19 có tổng số tuổi là S33
Vì mỗi nhóm trên đều có tổng số tuổi nhỏ hơn hoặc bằng 260 nên ta có: S1+S2+S3+…+S33≤260.33=8580(1)
Mặt khác ta lại có:
S1+S2+S3+…+S33 =(a1+a2+a3+…+a20)+(a2+a3+a4+…+a21)+… +(a33+a1+a2+…+a19) =20.(a1+a2+a3+…+a33)=20.430=8600(2)
Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn, do đó điều giả sử là sai.
Nghĩa là ta luôn tìm được 20 bạn có tổng số tuổi lớn hơn 260(đpcm)
