Một học sinh lớp 9 gặp một dạng toán như sau :
Đề bài : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết BH = a ; HC = b.
Chứng minh rằng \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) ?
Học sinh đó sử dụng cách giải :
\(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\le a+b\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => đpcm.
Câu hỏi :
a) Hãy tìm cách giải khác cho đề bài trên ?
b) Theo các bạn thì học sinh đó sử dụng cách trên có đúng không khi không sử dụng gì ở đề bài đã cho ( tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...) ? Cách giải đó có liên quan gì đến đề bài ?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bạn nào trả lời đúng và nhanh nhất mình sẽ tặng 3 GP :)
a) Gọi AM là đường trung tuyến. Dễ dàng suy ra \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)
Lại có:\(\sqrt{ab}=\sqrt{BH.HC}=\sqrt{AH^2}=AH\)
nên để chứng minh \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) ta chỉ cần chứng minh \(AH\le AM\)( điều này luôn đúng)
b)Kết quả thì đúng nhưng là do ..ăn may. Điểm rơi của BĐT AM-GM là a=b .Nếu điểm rơi của bài toán \(HB\ne HC\) thì nó lại là kết quả khác .KL : lời giải không phù hợp
a) cách giải khác thì chưa có (chưa nghỉ ra) nhưng có cách trình bày ngắn gọn hơn bằng cách áp dụng bất đẳng thức côsi
b) cách giải đó cũng không sai và nó đã có sữ dụng đến dữ liệu của đề bài dù dữ liệu này không được nói đến trong bài giải
ta có \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) xát định khi \(a\ge0;b\ge0\)
đồng thời trong đề bài có nói \(a=BH\) và \(b=HC\) (vì là độ dài nên không âm) \(\Rightarrow\) \(a;b\) thỏa mãn biểu thức
vậy từ đề bài ta tìm được điều kiện cho biểu thức để có thể chứng minh
a) Gọi M là trung điểm BC. Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A có trung tuyến AM => AM = BM = CM = \(\dfrac{1}{2}\) BC => \(\dfrac{a+b}{2}=AM\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH2 = CH.BH = ab
=> \(\sqrt{ab}=AH\)
Ta có: AH \(\le\) AM => \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> H \(\equiv\) M hay \(\Delta ABC\) vuông cân tại A
b) Theo em, cách giải trên không sai nhưng nó mang tính đại số hơn là hình học nên cách giải đó không phù hợp với đề bài
