Question

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt BC,DC theo thứ tự ở K,G.CMR:

a)AE²=EK.EG;

b)1/AE=1/AK+1/AG.

Answer 1

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt).

=> \(AB\) // \(CD\) và \(AD\) // \(BC\) (định nghĩa hình bình hành).

Hay \(AB\) // \(DG\) và \(AD\) // \(BK.\)

+ Xét \(\Delta ADE\) có:

\(AD\) // \(BK\left(cmt\right)\)

=> \(\frac{AE}{EK}=\frac{DE}{BE}\) (định lí Ta - lét) (1).

+ Xét \(\Delta DEG\) có:

\(AB\) // \(DG\left(cmt\right)\)

=> \(\frac{EG}{AE}=\frac{DE}{BE}\) (định lí Ta - lét) (2).

Từ (1) và (2) => \(\frac{AE}{EK}=\frac{EG}{AE}.\)

=> \(AE.AE=EK.EG\)

=> \(AE^2=EK.EG\)

b) Xét \(\Delta ADE\) có:

\(AD\) // \(BK\left(cmt\right)\)

=> \(\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}\) (định lí Ta - lét) (3).

+ Xét \(\Delta DEG\) có:

\(AB\) // \(DG\left(cmt\right)\)

=> \(\frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}\) (định lí Ta - lét) (4).

Từ (3) và (4) => \(\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{BD}+\frac{BE}{BD}\)

=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=\frac{DE+BE}{BD}\)

=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=\frac{BD}{BD}\)

=> \(AE.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\right)=1\)

=> \(\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}=\frac{1}{AE}.\)

Hay \(\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!