Một con đường có dạng hình chữ nhật ABCD với các cạnh AB=5km và BC=3km. Mặt đường được tráng nhựa, phần đất còn lại bên trong được trồng cỏ. Cùng 1 lúc, xe 1 xuất phát từ A với v1=10m/s chạy về phía B, xe 2 xuất phát từ B với tốc độ v2=8m/s chạy về phía C. Các xe chạy liên tục nhiều vòng trên đường.
a. Tính khoảng cách giữa 2 xe sau 2 phút và 8 phút kể từ khi xuất phát.
b.Tính khoảng cách ngắn nhất giữa 2 xe trước khi các xe đến chỗ rẽ đầu tiên( xe 1 chưa tới b và xe 2 chưa tới C lần đầu tiên)
c.Sau bao lâu xe 1 đuổi kịp xe 2 lần đầu tiên? Khi đó 2 xe đang ở trên cạnh nào của hcn ABCD
d.Giả sử ban đầu xe1 ko đi trên đường nhựa mà đi vào phần đất trồng cỏ theo 1 đường thẳng có hướng hợp với AB một góc α để gặp được xe 2. Xác định giá trị góc α. Biết tốc độ xe 1 khi đi vào phần trồng cỏ là v=8m/s
a/ Sau 120s, xe 1 đi tới E: \(AE=10.120=1200m\Rightarrow BE=3800m=3,8km\)
Xe 2 tới F: \(BF=8.120=960m=0,96km\)
\(\Rightarrow EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=3,92km\)
- Sau 480s, xe 1 tới E (quên điểm E bên trên đi :D), đoạn đường xe 1 đã đi: \(10.480=4800m=4,8km\) \(\Rightarrow\) xe 1 vẫn chạy trên AB, E cách B là \(0,2km\)
Xe 2 đi được một đoạn: \(8.280=3840m=3,84km\)
\(\Rightarrow\) xe 2 trên đoạn CD, ở điểm F cách C là \(3,84-3=0,84km\)
\(\Rightarrow\) khoảng cách 2 xe \(EF=\sqrt{BC^2+\left(CF-BE\right)^2}=3,07km\)
b/ Gọi \(x\left(s\right)\) là khoảng từ lúc bắt đầu chuyển động (trước khi có xe rẽ)
\(\Rightarrow AE=10x\left(m\right)\Rightarrow BE=5000-10x\) ; \(BF=8x\left(m\right)\)
\(\Rightarrow EF^2=BE^2+BF^2=164\left(x^2-2.\frac{12500}{41}x+\frac{12500^2}{41^2}\right)+5000^2-\frac{164.12500^2}{41^2}\)
\(=164\left(x-\frac{12500}{41}\right)^2+5000^2-\frac{164.12500^2}{41^2}\) (con số phía sau không quan trọng)
\(\Rightarrow EF_{min}\) khi \(x=\frac{12500}{41}\)
\(\Rightarrow EF_{min}=\sqrt{\left(5000-\frac{10.12500}{41}\right)^2+\left(\frac{8.12500}{41}\right)^2}=3123,5\left(m\right)\)
c/ Gọi x giây là khoảng thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi 2 xe gặp nhau lần đầu tiên
Quãng đường xe 1 đã đi: \(10x\) (m)
Quãng đường xe 2 đã đi: \(8x\) (m)
\(\Rightarrow10x=8x+5000\Rightarrow2x=5000\Rightarrow x=2500\left(s\right)\)
Khi đó xe 2 đi được 1 đoạn: \(8.2500=20000m=20km\)
Do mỗi vòng có chiều dài 16km \(\Rightarrow\) xe 2 đã trở về điểm B sau đó đi thêm 4km nữa \(\Rightarrow\) xe 2 đang trên đoạn CD, cách điểm C 1 km
d/ Giả sử xe 1 và xe 2 gặp nhau tại E
Do tốc độ xe 1 bằng tốc độ xe 2, và thời gian đi của 2 xe đến khi gặp nhau là bằng nhau \(\Rightarrow\) quãng đường hai xe đi được là như nhau
Nếu điểm E thuộc BC, trong các tam giác vuông ABE thì cạnh huyền AE luôn lớn hơn cạnh góc vuông BE \(\Rightarrow\) vô lý do quãng đường hai xe đi là bằng nhau
\(\Rightarrow\) điểm E thuộc cạnh CD (chắc chắn không thuộc AB hoặc AD, vì khi đó xe 1 chạy trên đường nhựa chứ ko phải trên cỏ)
\(\Rightarrow\) quãng đường xe 2 đi là \(BC+CE=AE\)
Qua E kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại F \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EF\perp AB\\EF=BC=3km\end{matrix}\right.\)
Đặt \(AF=x\Rightarrow CE=BF=5-x\Rightarrow AE=3+5-x=8-x\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AEF:
\(AE^2=AF^2+EF^2\Leftrightarrow\left(8-x\right)^2=x^2+3^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-16x+64=x^2+9\Rightarrow x=\frac{55}{16}km\)
\(\Rightarrow tan\alpha=\frac{EF}{AF}=\frac{3}{\frac{55}{16}}=\frac{48}{55}\)
\(\Rightarrow\alpha\approx41^06'43''\)
