a) ĐKXĐ: \(x\leq 2\)
Ta có \(2-x^2=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow 1-x^2=\sqrt{2-x}-1=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}\)
\(\Leftrightarrow (1-x)(1+x-\frac{1}{\sqrt{2-x}+1})=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\1+x=\dfrac{1}{\sqrt{2-x}+1}\left(\ast\right)\end{matrix}\right.\)
Có \((\star) \Leftrightarrow (1+x)(\sqrt{2-x}+1)=1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+x+x\sqrt{2-x}=0\)
Đặt \(x=a,\sqrt{2-x}=b\), ta có hệ:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+ab=0\\ a+b^2=2\rightarrow a=2-b^2\end{matrix}\right.\Rightarrow b(2-b^2)+2-b^2+b=0\)
\(\Leftrightarrow b^3+b^2-3b-2=0\)
\(\Leftrightarrow (b+2)(b^2-b-1)=0\)
Do \(b\geq 0\Rightarrow b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Vậy hai nghiệm của PT là \(x=1\) và \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
b) Đặt \(\sqrt{x+2006}=t\). PT trở thành:
\(x^2+t=t^2-x\)
\(\Leftrightarrow (x+t)(x-t+1)=0\)
TH1: \(x=-t\Leftrightarrow x=-\sqrt{x+2006}\) suy ra \(x\leq 0\)
Bình phương hai vế, kết hợp điều kiện trên của $x$ :
\(x^2-x-2006=0\Rightarrow x=\frac{1-5\sqrt{321}}{2}\) (thỏa mãn)
TH2: \(x+1=t\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x+2006}\)
\(\Leftrightarrow (x+1)^2=x+2006\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2005=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{8021}}{2}\\x=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{\sqrt{8021}}{2}\end{matrix}\right.\)
Thử lại thấy \(x\in \left\{\frac{-1+\sqrt{8021}}{2},\frac{1-5\sqrt{321}}{2}\right\}\) thỏa mãn.
c)\(x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}\)
Đặt \(\sqrt[3]{2x-1}=a\), ta thu được hệ sau:
\(\left\{\begin{matrix} x^3=2a-1\\ a^3=2x-1\end{matrix}\right.\Rightarrow (x-a)(x^2+ax+a^2)=2(a-x)\)
\(\Leftrightarrow (x-a)(x^2+ax+a^2+2)=0\)
Vì \(x^2+ax+a^2+2>0\forall a,x\in\mathbb{R}\Rightarrow a=x\)
\(\Leftrightarrow x^3=2x-1\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Thử lại thấy \(x\in\left\{1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}\) thỏa mãn.
