Điều kiện: \(x\ge-2\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} + x + 2 = {y^3} - 3{y^2} + 4y \Leftrightarrow {x^3} + x + 2 = {\left( {y - 1} \right)^3} + \left( {y - 1} \right) + 2 \)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^3+t+2\) trên \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\)
Ta có: \(f'\left(t\right)=3t^2+1>0\forall t\in\)\(\left[ { - 2; + \infty } \right)\)
Mà \(f\left(t\right)\) liên tục trên \(\left[-2;+\infty\right]\), suy ra hàm số \(f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\).
Do đó \(x=y-1\Rightarrow y=x+1\)
Thay $y=x+1$ vào phương trình (2) ta được: \(x^3-3=2\sqrt{x+2}+1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 8 = 2\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {{x^2} + 2x + 4 - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}} \right] = 0 \end{array} \)
\(\circledast x-2=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=3\)
\(\circledast\)\({x^2} + 2x + 4 - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 = \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + 1} \right)}}\left( * \right) \)
Ta có: \(VT = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3;VP = \dfrac{2}{{\sqrt {x + 2} + 2}} \le 1\forall x \in \left[ { - 2; + \infty } \right) \)
Do đó phương trình (*) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)
