Question

Hình bình hành ABCD có A(2;4), B(-7;1), C(-4;-3). Tìm tọa độ đình D

Answer 1

Để ý rằng trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AC, BD có cùng trung điểm vì vậy ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\) với mọi J. Vậy

Vì ABCD là hình bình hành nên  \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\)  với mọi điểm J trong mặt phẳng. Điều này tương đương với 

 \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}\) 

Khi J là gốc tọa độ, ta được D(5;0)

 

Answer 2

Với bốn điểm A, B, C, D phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

Do đó, giả sử tìm được điểm D(x;y)

Khi đó : \(\overrightarrow{AB}=\left(-9;-3\right)\)

và \(\overrightarrow{DC}=\left(-4-x;-3-y\right)\)

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), điều này tương ứng với 

\(\begin{cases}-4-x=-9\\-3-y=-3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)

Vậy D (5;0)

Answer 3

Ta cũng có thể sử dụng quy tắc hình bình hành để giải như sau :

Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(9;3\right);\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)\)

Giả sử tìm được điểm D(x;y). Khi đó \(\overrightarrow{BD}=\left(x+7;y-1\right)\) và do đó ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)

Điều này tương ứng với 

\(\begin{cases}x+7=9+3\\y-1=3+\left(-4\right)\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)

Vậy đáp số D(5;0)