Bài 13:
Giả sử cả hai số đều lớn hơn hoặc bằng $1$
Khi đó: $a\geq 1; b\geq 1$
$\Rightarrow a+b\geq 2$ (trái giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai, hay một trong hai số $a,b$ phải nhỏ hơn $1$
Bài 14:
Giả sử trong 3 số $a,b,c$ đều $\leq 0$. Khi đó $abc\leq 0$ (trái giả thiết)
Do đó 1 trong ba số $a,b,c$ phải có ít nhất một số dương (đpcm)
Bài 15:
Giả sử tồn tại $m,n$ nguyên thỏa mãn $2m^2+n^2=2007$
$\Rightarrow n$ lẻ. Đặt $n=2k+1$ với $k$ nguyên
$\Rightarrow 2m^2+(2k+1)^2=2007$
$\Leftrightarrow m^2+2k^2+2k=1003$
$\Rightarrow m$ lẻ. Đặt $m=2t+1$ với $t$ nguyên
$\Rightarrow (2t+1)^2+2k^2+2k=1003$
$\Leftrightarrow 2t^2+2t+k^2+k=501$
$\Leftrightarrow 2t(t+1)+k(k+1)=501$ (vô lý vì $2t(t+1)+k(k+1)$ chẵn)
Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề $P$ đúng.
Bài 16:
\(af(\alpha)=a(a\alpha^2+b\alpha+c)=a^2\alpha^2+b\alpha a+ac\)
\((\alpha a+\frac{b}{2})^2+ac-\frac{b^2}{4}<0\)
\(\Rightarrow \frac{b^2-4ac}{4}> (\alpha a+\frac{b}{2})^2\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \Delta\geq 0\) nên pt $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm.
Bài 17:
Vì $abc>0$ nên có 2 TH:TH1: $a,b,c$ đều dương. TH này thỏa mãn cả đk $a+b+c>0$ và $ab+bc+ac>0$ $\Rightarrow$ đpcmTH2: Có 2 số âm, 1 số dương. Không mất tổng quát giả sử $a< 0; b< 0; c>0$Khi đó:$ab+bc+ac=a(a+b+c)+bc-a^2< 0$ do $a(a+b+c)< 0; bc<0; -a^2< 0$Mà $ab+bc+ac< 0$ trái giả thiết nên TH này loạiVậy $a,b,c$ đều dương.
Bài 18:
$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac}{2}$
$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}>0$
Do $a\neq b\neq c$ nên $(a-b)^2>0; (b-c)^2>0; (c-a)^2>0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)>0$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2> ab+bc+ac$
Ta có đpcm.
Bài 19:
$x^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
$y^2\geq 0$ với mọi $y\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow x^2+y^2\geq 0$. Để $x^2+y^2=0$ thì $x^2=y^2=0$
Bài 20 giải tương tự bài 19.
$\Leftrightarrow x=y=0$ (đpcm)
Bài 21:
\(A=a^2b+ab^2-2a^2-2b^2-4ab+4a+4b\)
\(=ab(a+b)-2(a^2+b^2+2ab)+4(a+b)\)
\(=ab(a+b)-2(a+b)^2+4(a+b)=(a+b)(ab-2a-2b+4)\)
\(=(a+b)(a-2)(b-2)\)
Với $a,b$ là số thực dương khác $2$ thì:
$a+b>0; a-2\neq 0; b-2\neq 0$
$\Rightarrow A=(a+b)(a-2)(b-2)\neq 0$
Ta có đpcm.
