§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Trần Khánh linh

Help mình vs ạ:))

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 2 2022 lúc 21:54

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki (cho tất cả các bài):

1.

\(\left(3x+4y\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)=25\)

\(\Rightarrow\left|3x+4y\right|\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

2.

\(\left(x+2y\right)^2=\left(1.x+\sqrt{2}.\sqrt{2y}\right)^2\le\left(1+2\right)\left(x^2+2y^2\right)=3\)

\(\Rightarrow\left|x+2y\right|\le\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}};\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 2 2022 lúc 21:58

4.

a.

Áp dụng Bunhiacopxki:

\(\left(b+c+c+a+a+b\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 2 2022 lúc 21:56

3.

Từ giả thiết:

\(x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=9\)

Ta có:

\(\left|x+2y+2z-20\right|=\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)-17\right|\)

\(\Rightarrow\left|x+2y+2z-20\right|\le\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right|+17\)

Lại có:

\(\left[\left(x-1\right)+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right]^2\le\left(1+4+4\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2\right]=81\)

\(\Rightarrow\left|x-1+2\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)\right|\le9\)

\(\Rightarrow\left|x+2y+2z-20\right|\le9+17=26\)

\(\Rightarrow A_{max}=26\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;-3\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 2 2022 lúc 22:01

4b.

\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\)

\(=\left(ab+ac+bc+ab+ac+bc\right)\left(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{ab+ac}.\sqrt{\dfrac{a^2}{ab+ac}}+\sqrt{bc+ab}.\sqrt{\dfrac{b^2}{bc+ab}}+\sqrt{ac+bc}.\sqrt{\dfrac{c^2}{ac+bc}}\right)^2\)

\(=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Nhã Uyên Hạ
Xem chi tiết
Kiệt Xinh Gái
Xem chi tiết
Dòng Thác Điên Cuồng
Xem chi tiết
Minh Phùng
Xem chi tiết
Thảo Nguyên
Xem chi tiết
Vân Trang Bùi
Xem chi tiết
Khanh Nguyen
Xem chi tiết
Trần Khang
Xem chi tiết
nguyentrongquan123
Xem chi tiết