Câu hỏi của Komorebi

Question

Giúp Vy với ạ ^^

Cho các số thực dương x, y thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng :

$\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}\ge1$

❤❤❤

Thư Vy · Accepted Answer

Áp dụng liên tiếp bđt Cauchy-Schwarz và AM-GM

$\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}=\dfrac{x^2}{x+y^2x}+\dfrac{y^2}{y+x^2y}$

$\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+y^2x+x^2y}=\dfrac{4}{x+y+xy\left(x+y\right)}$

$=\dfrac{4}{2+2xy}\ge\dfrac{4}{2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{4}=1$

$"="\Leftrightarrow x=y=1$Câu trả lời: Áp dụng liên tiếp bđt Cauchy-Schwarz và AM-GM

$\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+x^2}=\dfrac{x^2}{x+y^2x}+\dfrac{y^2}{y+x^2y}$

$\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+y^2x+x^2y}=\dfrac{4}{x+y+xy\left(x+y\right)}$

$=\dfrac{4}{2+2xy}\ge\dfrac{4}{2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{4}=1$

$"="\Leftrightarrow x=y=1$

Violympic toán 9