Câu hỏi của Phạm Vũ Ngọc Duy

Question

giúp nha mấy chú;

Tìm tất cả số nguyên a để a^2 + 3xa + 5 là số chính phương

Anh Triêt · Accepted Answer

Đặt: $a^2+3a+5=k^2\left(k\in N\right)$

$\Rightarrow4a+12a+20=4k^2$

$\Rightarrow\left(4a^2+6a\right)+\left(6a+9\right)+11=4k^2$

$\Rightarrow2a\left(2a+3\right)+3\left(2a+3\right)+11=4k^2$

$\Rightarrow\left(2a+3\right)\left(2a+3\right)+11=4k^2$

$\Rightarrow\left(2a+3\right)^2+11=\left(2k\right)^2$

$\Rightarrow\left(2a+3\right)^2-\left(2k\right)^2=-11$ ( * )

Ta sẽ chứng minh: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

Thật vậy, ta có: $a^2-b^2=a^2-ab+ab-b^2=a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$$\RightarrowĐpcm$

Áp dụng vào ( * ), ta có: $\left(2a+3-2k\right)\left(2a+3+2k\right)=-11$

Vì $a,k\in N$ nên $2a+3+2k\in N$ và $2a+3-2k\le2a+3+2k$

$\Rightarrow2a+3-2k,2a+3+2k\inƯ\left(-11\right)$

Mà $Ư\left(-11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}$ nên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: $2a+3-2k=-1$ và $2a+3+2k=11$

$\Rightarrow2a+3=2k-1\Rightarrow2k-1+2k=11\Rightarrow4k=12\Rightarrow k=3$

$\Rightarrow2a+3=2.3-1=5\Rightarrow a=1$

* Trường hợp 2: $2a+3-2k=-11$ và $2a+3+2k=1$

$\Rightarrow2a+3=2k-11\Rightarrow2k-11+2k=1\Rightarrow4k=12\Rightarrow k=3$

$\Rightarrow a=-4$

Vậy $a=1$ hoặc $a=-4$ là giá trị cần tìmCâu trả lời: Đặt: $a^2+3a+5=k^2\left(k\in N\right)$