Question

Giúp mình câu này với: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm GTNN(min) của \(P=\frac{9}{1-\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{4xyz}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left [\frac{9}{1-(xy+yz+xz)}+\frac{1}{4xyz}\right]\left [1-(xy+yz+xz)+9xyz\right ]\geq (3+\frac{3}{2})^2=\frac{81}{4}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{81}{4[1-(xy+yz+xz)+9xyz]}\) $(1)$

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)

\(\Rightarrow 1-(xy+yz+xz)+9xyz\leq 1\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq \frac{81}{4}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\)