Bài 10:
a) Trên tia đối của tia MA, lấy K sao cho M là trung điểm của AK
Xét tứ giác ABKC có
M là trung điểm của đường chéo AK(gt)
M là trung điểm của đường chéo BC(gt)
Do đó: ABKC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ABKC có \(\widehat{CAB}=90^0\)(gt)
nên ABKC là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: BC=AK(hai đường chéo)
mà \(AM=\dfrac{AK}{2}\)(M là trung điểm của AK)
nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(đpcm)
b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{B}+30^0=90^0\)
hay \(\widehat{B}=60^0\)
Xét ΔABM có MA=MB\(\left(=\dfrac{1}{2}BC\right)\)
nên ΔMAB cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔMAB cân tại M có \(\widehat{B}=60^0\)(cmt)
nên ΔMAB đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
Suy ra: \(AB=AM\)
mà \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
nên \(AB=\dfrac{BC}{2}\)(đpcm)
Bài 9:
a) Xét ΔAHC vuông tại H có
\(HC=AC\cdot\sin\widehat{HAC}\)
\(\Leftrightarrow HC=4\cdot\sin60^0=4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Vậy: \(HC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
b) Xét ΔANB và ΔBMC có
NB=MC(gt)
\(\widehat{ABN}=\widehat{BCM}\left(=60^0\right)\)
AB=BC(ΔABC đều)
Do đó: ΔANB=ΔBMC(c-g-c)
Suy ra: AN=BM(hai cạnh tương ứng)
