Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
Xét ΔBCA vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=6\cdot9=54\)
=>\(AH=\sqrt{54}=3\sqrt6\) (cm)
BC=BH+CH=6+9=15(cm)
Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\)
=>\(AE=\frac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\)
=>\(AF=\frac{AH^2}{AC}\)
AEHF là hình chữ nhật
=>\(S_{AEHF}=AE\cdot AF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)
\(=\frac{\left(3\sqrt6\right)^3}{15}=\frac{27\cdot6\sqrt6}{15}=\frac{162\cdot\sqrt6}{15}=\frac{54\cdot\sqrt6}{5}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
