VD3:
a: Gọi M là giao điểm của AG và BC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
M là giao điểm của AG và BC
Do đó: M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\frac23AM\)
=>\(AI=IG=GM=\frac13AM\)
\(\overrightarrow{AI}=\frac13\cdot\overrightarrow{AM}=\frac13\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac16\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\frac16\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac16\left(-2\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=-\frac13\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AK}=\frac15\cdot\overrightarrow{AB}=\frac15\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)=-\frac15\cdot\overrightarrow{CA}+\frac15\cdot\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}\)
\(=\overrightarrow{CA}-\frac13\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{CB}=\frac23\cdot\overrightarrow{CA}+\frac16\cdot\overrightarrow{CB}=\frac16\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}\)
\(=\overrightarrow{CA}-\frac15\cdot\overrightarrow{CA}+\frac15\cdot\overrightarrow{CB}=\frac45\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\cdot\frac15=\frac15\left(4\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
b: \(\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{CK}}=\frac16:\frac15=\frac56\)
=>\(\overrightarrow{CI}=\frac56\cdot\overrightarrow{CK}\)
=>C,I,K thẳng hàng
