Ôn thi vào 10

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Smiling12233

Giúp em bài này với ạ, em cần gấp lắm :((((

Cho đường tròn (O) nội tiếp hình thoi ABCD. Kẻ một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các cạnh AB , AD theo thứ tự ở E,F . Kẻ một tiếp tuyến khác với đường tròn (O) cắt cạnh CB,CD theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng: 

 a) BE* DF= OB* OD

b) EG song song với HF .

Lê Duy Nam
29 tháng 11 2023 lúc 13:38
Gọi I là giao điểm của EG và HF. Theo định lí tiếp tuyến, ta có: $\angle{OBE} = \angle{OBF} = 90^\circ$ và $\angle{ODF} = \angle{ODG} = 90^\circ$. Vì $BE$ và $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên $OE$ và $OF$ là phân giác của $\angle{BOD}$. Tương tự, $OG$ và $OH$ là phân giác của $\angle{BOD}$. Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$. Do đó, $OEIF$ và $OFIG$ là các hình chữ nhật. Vì $OE = OF$ và $OG = OH$, nên $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông. Từ đó, ta có: $BE = EF$ và $DG = GH$. Vì $ABCD$ là hình thoi, nên $AB = AD$ và $BC = CD$. Khi đó, ta có: $AB = AD = BE + EF = BE + DF$ và $BC = CD = DG + GH = EG + HF$. Từ đó, ta suy ra: $BE + DF = EG + HF$. Do đó, $BE.DF = EG.HF$. Từ định lí tiếp tuyến, ta có: $BE.DF = OB^2$ và $EG.HF = OG^2$. Vì $OB = OG$ (bán kính đường tròn (O)), nên ta có: $BE.DF = OB.OD$.

Vậy, ta đã chứng minh được a) BE.DF = OB.OD.

b) Ta có:

Gọi I là giao điểm của EG và HF. Theo chứng minh ở câu a), ta có: $OEIF$ và $OFIG$ là các hình vuông. Khi đó, ta có: $\angle{EOI} = \angle{FOI} = \angle{GOI} = \angle{HOI} = 90^\circ$. Do đó, ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$. Từ đó, ta suy ra: $\angle{EOI} + \angle{FOI} + \angle{GOI} + \angle{HOI} = 360^\circ$. Vì $EG \parallel HF$, nên ta có: $\angle{EOI} + \angle{FOI} = 180^\circ$. Từ đó, ta suy ra: $\angle{GOI} + \angle{HOI} = 180^\circ$. Do đó, ta có: $\angle{GOI} = \angle{HOI}$. Vậy, ta đã chứng minh được b) EG // HF.

Các câu hỏi tương tự
Quốc Huy
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết
baobao123
Xem chi tiết
Nguyên Thảo Lương
Xem chi tiết
Trọng Khang
Xem chi tiết
Van Bui
Xem chi tiết
Tiểu Bạch Kiểm
Xem chi tiết
Wolf 2k6 has been cursed
Xem chi tiết
Thành đz
Xem chi tiết