Question

Giải pt \(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}=x^2+1\)

Answer 1

Trong đề thi Hà Nội á bạn :vv

ĐKXĐ: x \(\ge\frac{2}{3}\).

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\le\frac{x+1}{2}+\frac{3x-2+1}{2}=2x\) (1).

Cũng theo BĐT Cauchy:

\(x^2+1\ge2x\) (2).

Từ (1), (2) suy ra \(x^2+1\ge\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\).

Mà theo pt ta có đẳng thức xảy ra. Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\3x-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\).

PT có nghiệm duy nhất x = 1.