Question

giải phương trình:\(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{y-1}=xy\)

Answer 1

Lời giải:
ĐKXĐ: $x,y\geq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}$

$y\sqrt{x-1}=\sqrt{y^2(x-1)}=\sqrt{y(xy-y)}\leq \frac{y+(xy-y)}{2}$

Cộng theo vế:

$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$

Dấu "=" xảy ra khi : \(\left\{\begin{matrix} x=xy-x\\ y=xy-y\\ x,y\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy........

Answer 2

Lời giải:
ĐKXĐ: $x,y\geq 1$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}$

$y\sqrt{x-1}=\sqrt{y^2(x-1)}=\sqrt{y(xy-y)}\leq \frac{y+(xy-y)}{2}$

Cộng theo vế:

$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$

Dấu "=" xảy ra khi : \(\left\{\begin{matrix} x=xy-x\\ y=xy-y\\ x,y\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy........