ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)
Đặt \(x=sina\Rightarrow1-x^2=cosa\) \(\left(a\in\left[\frac{-\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\right)\)
\(sin^3a+\left|cos^3a\right|=sina.\sqrt{2}\left|cosa\right|\)
TH1: \(a\in\left[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) \(\Rightarrow cosa\ge0\) pt trở thành:
\(sin^3a+cos^3a=\sqrt{2}sina.cosa\Leftrightarrow\left(sina+cosa\right)\left(2-2sina.cosa\right)=2\sqrt{2}sina.cosa\)
Đặt \(sina+cosa=t\Rightarrow2sina.cosa=t^2-1\) (\(-1\le t\le\sqrt{2}\))
\(\Rightarrow t\left(3-t^2\right)=\sqrt{2}\left(t^2-1\right)\Leftrightarrow t^3+\sqrt{2}t^2-3t-\sqrt{2}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\sqrt{2}\\t=1-\sqrt{2}\\t=-1-\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(t=\sqrt{2}\Rightarrow a=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Với \(t=1-\sqrt{2}\Rightarrow x+\sqrt{1-x^2}=1-\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1-\sqrt{2}\\2x^2-2\left(1-\sqrt{2}\right)x+2-2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}}{2}>1-\sqrt{2}\left(l\right)\\x=\frac{2-3\sqrt{2}}{2}< -1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
TH2: \(a\in\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) \(\Rightarrow cosa< 0\) pt trở thành:
\(sin^3a-cos^3a=-\sqrt{2}sina.cosa\Leftrightarrow...\)
Bạn tự giải tương tự như trường hợp trên, và lưu ý khi đặt ẩn phụ \(t=sina-cosa\) (hoặc \(t=sina+cosa\) như TH1) thì do \(t=\sqrt{2}sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\) và \(a\in\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) nên \(a-\frac{\pi}{4}\in\left(\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)\Rightarrow\frac{-\sqrt{2}}{2}\le sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\le1\) \(\Rightarrow-1\le t\le\sqrt{2}\) để loại nghiệm cho phù hợp
