Với \(y=0\Rightarrow x=0\)
Nhận thấy vế phải luôn ko âm \(\Rightarrow x\ge0\)
Vậy ta chỉ đi tìm nghiệm tự nhiên của pt ( y âm thì hiển nhiên vế phải ko phải số nguyên nên loại)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=4^y\)
Gọi \(d\) là ước chung của \(x^2+1\) và \(x+1\Rightarrow x\left(x+1\right)-\left(x^2+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow x-1⋮d\Rightarrow\left(x+1\right)-\left(x-1\right)⋮d\Rightarrow2⋮d\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
- Với \(d=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=2m\\x+1=2n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow4mn=4^y\Rightarrow mn=4^{y-1}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=1\\m=4^{y-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+1=2\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
- Với \(d=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=4^y\\x+1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=0\)
Vậy pt chỉ có 2 cặp nghiệm là \(\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)
