Lời giải:
Đặt \(\sqrt{x}=a; \sqrt{1-x}=b(a,b\geq 0)\)
Khi đó ta thu được hpt sau:
\(\left\{\begin{matrix} 1+\frac{2}{3}ab=a+b\\ a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3+2ab=3(a+b)\\ a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2+2ab=3(a+b)\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2-3(a+b)+2=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-1)(a+b-2)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a+b=2\end{matrix}\right.\)
+) Nếu $a+b=1$ thì \(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{1-1}{2}=0\)
Theo định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt: \(x^2-x=0\Rightarrow (a,b)=(1,0)\) và hoán vị
+) Nếu $a+b=2$ thì \(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}\)
Theo định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt:
\(x^2-2x+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow (x-1)^2+\frac{1}{2}=0\) (vô lý)
Vậy \((a,b)=(1,0)\) và hoán vị kéo theo \(x=(1,0)\)
