Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Trà

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=9\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=5\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
12 tháng 9 2018 lúc 9:14

Lời giải:

\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=5^2=25\)

\(\Rightarrow x+y+z+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=25\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{25-9}{2}=8\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=64\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz+10\sqrt{xyz}=64\)

Thay vào PT(3):

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xy}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{64-10\sqrt{xyz}}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Đặt \(\sqrt{xyz}=t\Rightarrow \frac{64-10t}{t^2}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3t^2+20t-128=0\)

\(\Rightarrow t=4\) (chọn) hoặc \(t=-\frac{32}{3}< 0\) (loại)

\(\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{4}{\sqrt{z}}\)

\(\Rightarrow 8=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=\frac{4}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}(5-\sqrt{z})\)

Đặt \(\sqrt{z}=k\Rightarrow 8k=4+5k^2-k^3\)

\(\Rightarrow k^3-5k^2+8k-4=0\)

\(\Rightarrow k^2(k-1)-4(k^2-2k+1)=0\)

\(\Rightarrow (k-1)(k-2)^2=0\Rightarrow k=1; k=2\)

Nếu $k=1$ suy ra $z=1$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $x=y=4$

Nếu $k=2$ thì $z=4$. Thay vào giải hpt 2 ẩn ta thu được $(x,y)=(4,1)$ và hoán vị

Vậy $(x,y,z)=(4,4,1)$ và hoán vị của nó.


Các câu hỏi tương tự
Oriana.su
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
nguyen2005
Xem chi tiết
Nguyễn Thành
Xem chi tiết
Vũ Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Huỳnh Thanh Xuân
Xem chi tiết
SHIZUKA
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết