Question

Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4=1\\x^3+y^3=x^2+y^2\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

\(\left\{\begin{matrix} x^4+y^4=1(1)\\ x^3+y^3=x^2+y^2(2)\end{matrix}\right.\)

Từ \((1)\Rightarrow x^4=1-y^4\leq 1\Rightarrow (x^2-1)(x^2+1)\leq 0\)

\(\Rightarrow x^2-1\leq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1\)

Hoàn toàn tương tự: \(-1\leq y\leq 1\)

Từ \((2)\Rightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)=0\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} x\leq 1\rightarrow x-1\leq 0\\ x^2\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0\)

Tương tự: \(y^2(y-1)\leq 0\)

Mà \(x^2(x-1)+y^2(y-1)=0\), do đó: \(x^2(x-1)=y^2(y-1)=0\)

Kết hợp với \(x^4+y^4=1\) dễ dàng suy ra \((x,y)=(1,0); (0,1)\)