Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nấm Chanel

Giải hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-2x^2y+x=y^3-2xy^2+y\\\sqrt{y-1}+\sqrt{5-y}=-x^2+2y+1\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
14 tháng 11 2017 lúc 20:46

Lời giải:

PT(1): \(x^3-2x^2y+x=y^3-2xy^2+y\)

\(\Leftrightarrow (x^3-y^3)-2xy(x-y)+(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-2xy(x-y)+(x-y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2-xy+y^2+1)=0\)

Ta thấy:

\(x^2-xy+y^2+1=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}+1\geq 1>0\) với mọi số thực x,y

Do đó: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào PT(2):

\(\sqrt{y-1}+\sqrt{5-y}=-y^2+2y+1\)

Xét: \(\text{VT}^2=4+2\sqrt{(y-1)(5-y)}\geq 4\) nên \(\text{VT}\geq 2\) hoặc \(\text{VT}\leq -2\). Mà vế trái luôn không âm nên:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq 2\)

Xét \(\text{VP}=-(y^2-2y+1)+2=2-(y-1)^2\leq 2\forall y\in\mathbb{R}\)

\(\text{VT}=\text{VP}\Leftrightarrow \text{VT}=\text{VP}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(y=1\)

Vậy \((x,y)=(1,1)\)


Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Wang Soo Yi
Xem chi tiết
Miamoto Shizuka
Xem chi tiết