Question

giải hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3y+1\right)\sqrt{2xy+2y}=y\left(3x+4y+3\right)\\\left(\sqrt{x-3}-\sqrt{2y-2}\right)\left(x-3+\sqrt{x^2+x+2y-4}\right)=4\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 2y(x+1)\geq 0\\x\geq -3 \\y\geq 1 \\ x^2+x+2y-4\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ y\geq 1\\x^2+x+2y-4\geq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 2(x+3y+1)\sqrt{2xy+2y}=6xy+8y^2+6y$

$\Leftrightarrow [(x+3y+1)-\sqrt{2xy+2y}]^2-(x+y+1)^2=0$

$\Leftrightarrow (x+3y+1-\sqrt{2xy+2y}-x-y-1)(x+3y+1-\sqrt{2xy+2y}+x+y+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2y=\sqrt{2xy+2y} (A)\\ 2x+4y+2=\sqrt{2xy+2y} (B) \end{bmatrix}$

+) iải (A):
(A)<=> $4y^2=2xy+2y$

<=> $\begin{bmatrix} y=0 (loại vì y \geq 1)\\ 2y=x+1 \end{bmatrix}$

thế $2y=x+1$ vào (2) => nhân liên hợp 2 căn được pt: $x-3+\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$ => bình phương => rút gọn được pt sau:
$(\sqrt{x^2+2x-3}+x-4)^2=9$ => giải được 2 nghiệm
+) giải (B):

(B) <=> $(\sqrt{2y}-\sqrt{x-1})^2+3(x+2y+1)=0$

Vì $\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ y\geq 1 \end{matrix}\right.$ => pt vô nghiệm