Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Huệ Cẩm

Giải hệ phương trình :

\(\begin{cases}27x^2+3x+\left(9y-7\right)\sqrt{6-9y}=0\\\frac{x^2}{3}+y^2+\sqrt{2-3x}-\frac{109}{81}=0\end{cases}\)  \(\left(x;y\in R\right)\)

Phạm Thái Dương
5 tháng 4 2016 lúc 16:51

\(\begin{cases}27x^3+3x+\left(9y-7\right)\sqrt{6-9y}=0\left(1\right)\\\frac{x^2}{3}+y^2+\sqrt{2-3x}-\frac{109}{81}=0\left(2\right)\end{cases}\)

Với điều kiện \(x\le\frac{2}{3};y\le\frac{2}{3}\) (1) tương đương với : \(\left(9x^2+1\right)3x=\left(6-9y+1\right)\sqrt{6-9y}\)

Đặt \(u=3x,v=\sqrt{6-9y}\) ta có \(\left(u^2+1\right)u=\left(v^2+1\right)v\)

Xét hàm số : \(f\left(t\right)=\left(t^2+1\right)t\) có \(f'\left(t\right)=3t^2+1>0\) nên hàm số luôn đồng biến trên R

Suy ra \(u=v\Leftrightarrow3x=\sqrt{6-9y}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge0\\y=\frac{2}{3}-x^2\left(3\right)\end{cases}\)

Thế (3) vào (2) ta được \(\frac{x^2}{3}+\left(\frac{2}{3}-x^2\right)^2+\sqrt{2-3x}-\frac{109}{81}=0\left(4\right)\)

Nhận xét \(x=0;x=\frac{2}{3}\) không phải là nghiệm của (4)

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=\frac{x^2}{3}+\left(\frac{2}{3}-x^2\right)^2+\sqrt{2-3x}-\frac{109}{81}\)

Ta có \(g'\left(x\right)=2x\left(2x-1\right)-\frac{3}{2\sqrt{2-3x}}<0\), mọi \(x\in\left(0;\frac{2}{3}\right)\)

Nên hàm số g(x) nghịch biến trên \(\left(0;\frac{2}{3}\right)\)

Dễ thấy \(x=\frac{1}{3}\) là nghiệm của (1), suy ra \(y=\frac{5}{9}\) nên hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(\frac{1}{3};\frac{5}{9}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Đỗ Phương Nam
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyệt Hà Đỗ
Xem chi tiết
Phương Anh
Xem chi tiết
Ngô Việt Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Nguyên
Xem chi tiết
Đặng Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Huỳnh Đông Anh
Xem chi tiết
Cung Đường Vàng Nắng
Xem chi tiết