Question

Giải giúp mình phương trình này

\(x^2=3\sqrt{3\sqrt{3x-2}-2}-2\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{22}{27}\)

Đặt \(\sqrt{3x-2}=y\ge\dfrac{2}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3\sqrt{3y-2}-2\\y^2=3x-2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{3y-2}=z\ge0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=3z-2\\z^2=3y-2\end{matrix}\right.\)

Ta nhận được 1 hệ hoán vị vòng quanh rất cơ bản: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=3z-2\\y^2=3x-2\\z^2=3y-2\end{matrix}\right.\)

Các hàm \(f\left(t\right)=t^2\) và \(g\left(t\right)=3t-2\) cùng đơn điệu tăng trên \(\left(0;+\infty\right)\) nên hệ trên có nghiệm duy nhất \(x=y=z\)

\(\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)