Question

Đặt a=\(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}.\)Cmr: \(\frac{64}{\left(a^3-3\right)^3}-3a\)là số nguyên.

Answer 1

Chú ý tới đẳng thức : \(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)

\(a=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow a^3=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\cdot a\)

\(\Leftrightarrow a^3=4+3\sqrt[3]{4-3}\cdot a\)

\(\Leftrightarrow a^3=4+3a\)

\(\Leftrightarrow a^3-3a=4\)

Khi đó: \(\frac{64}{\left(a^3-3a\right)^3}-3=\frac{64}{4^3}-3=1-3=-2\)

Ta có đpcm.

p/s: Mình nghĩ đề sai và sửa luôn rồi, có gì bạn ib lại.

Answer 2

Lập phương lên bạn!