Câu hỏi của bababa ânnnanana

Question

Đa thức f$\left(x\right)$ chia cho $x+1$ thì dư 4, chia cho $x^2+1$ thì dư $2x+3$.

Tìm dư khi  f$\left(x\right)$ chia cho $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$f\left(x\right)$ chia $x+1$ dư 4 $\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)+4$

$f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)P\left(x\right)+4=4$

Do $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$ là đa thức bậc 3 $\Rightarrow$ phần dư của phép chia $f\left(x\right)$ cho $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$ là bậc 2 có dạng $ax^2+bx+c$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c$(1)

$f\left(-1\right)=a-b+c=4$ (2)

Biến đổi biểu thức (1):

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a$

$f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right).Q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ chia $x^2+1$ dư $bx+c-a$

$\Rightarrow bx+c-a=2x+3$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\c-a=3\end{matrix}\right.$

Kết hợp (2) ta được: $\left\{{}\begin{matrix}b=2\c-a=3\a-b+c=4\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\b=2\c=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy phần dư cần tìm là $\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}$Câu trả lời: $f\left(x\right)$ chia $x+1$ dư 4 $\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right).P\left(x\right)+4$

$f\left(-1\right)=\left(-1+1\right)P\left(x\right)+4=4$

Do $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$ là đa thức bậc 3 $\Rightarrow$ phần dư của phép chia $f\left(x\right)$ cho $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$ là bậc 2 có dạng $ax^2+bx+c$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+ax^2+bx+c$(1)

$f\left(-1\right)=a-b+c=4$ (2)

Biến đổi biểu thức (1):

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right).Q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a$

$f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right).Q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a$

$\Rightarrow f\left(x\right)$ chia $x^2+1$ dư $bx+c-a$

$\Rightarrow bx+c-a=2x+3$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\c-a=3\end{matrix}\right.$

Kết hợp (2) ta được: $\left\{{}\begin{matrix}b=2\c-a=3\a-b+c=4\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\b=2\c=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy phần dư cần tìm là $\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}$

Luân Đào · Answer

Theo Bơdu, ta có:

$f\left(x\right):\left(x+1\right)$ dư 4

$\Rightarrow f\left(-1\right)=4$

Vì đa thức chia $\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$ có bậc 3 nên đa thức dư có bậc $\le2$. Đặt đa thức dư có dạng $ax^2+bx+c$

Gọi $P\left(x\right)$ là đa thức thương. Ta có:

$f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+bx+c$

$=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+ax^2+a-a+bx+c$

$=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)P\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a$

$=\left(x^2+1\right)\left[P\left(x\right).\left(x+1\right)+a\right]+bx-a+c$

Vì $f\left(x\right):\left(x^2+1\right)$dư $2x+3$

$\Rightarrow bx+c-a=2x+3$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\c-a=3\end{matrix}\right.$

Lại có: $f\left(-1\right)=ax^2+bx+c=4$

$\Leftrightarrow a-b+c=4\Leftrightarrow a+c-2=4$

$\Leftrightarrow a+c=6$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\b=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy đa thức dư là $\dfrac{3}{2}x^2+2x+\dfrac{9}{2}$Câu trả lời: Theo Bơdu, ta có: