Với \(x\le3\) hiển nhiên ko thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với \(x>3\)
\(\Leftrightarrow\left(x^{log_5m}+3\right)^{log_5m}=x-3\)
Đặt \(log_5m=k>1\Rightarrow\left(x^k+3\right)^k=x-3\)
Đặt \(x^k+3=t>3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^k=t-3\\t^k=x-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^k-t^k=t-x\)
\(\Rightarrow x^k+x=t^k+t\)
Hàm \(f\left(u\right)=u^k+u\) có \(f'\left(u\right)=k.u^{k-1}+1>0\Rightarrow f\left(u\right)\) đồng biến khi \(u>3\)
\(\Rightarrow x=t\)
\(\Rightarrow x^k+3=x\Rightarrow x^k-x+3=0\)
Với \(k>1\) ta có \(f\left(x\right)=x^k-x+3\) có \(f'\left(x\right)=k.x^{k-1}-1>1.3^0-1=0\) khi \(x>3\) nên hàm đồng biến
\(\Rightarrow f\left(x\right)>f\left(3\right)=3^k>0\Rightarrow f\left(x\right)\) vô nghiệm
Vậy ko tồn tại \(m>1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài
