Question

Cmr: phương trình (2m²+3m+4)x⁴ + x -1=0 có nghiệm với mọi m

Answer 1

Xét hàm \(f\left(x\right)=\left(2m^2+3m+4\right)x^4+x-1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=-1< 0\)

\(f\left(1\right)=2m^2+3m+4=2\left(m+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}>0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)  ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng \(\left(0;1\right)\) với mọi m hay pt đã cho luôn có nghiệm