Question

CMR nếu O là một điểm bất kì nằm trong tứ giác ABCD sao cho diện tích tam giác ABO,BCO,CDO và DAO bằng nhau thì O phải thuộc một trong hai đường chéo AC và BD

Answer 1

- Nếu O thuộc BD ta hiển nhiên có điều phải chứng minh - Nếu O không thuộc BD Giả sử BD cắt OA, OC lần lượt tại E, F Từ D và B kẻ các đường vuông góc DH, BK xuống AO với H,K thuộc AO Ta có: \(S_{OAD}=S_{OAB}\) mà hai tam giác này có chung đáy OA \(\Rightarrow DH=BK\) Xét tam giác DHE vuông tại H và tam giác BKE vuông tại K có: \(DH=BK\) \(\widehat{EDH}=90^0-\widehat{DEH}=90^0-\widehat{BEK}=\widehat{EBK}\) \(\Rightarrow\Delta EDH=\Delta EBK\) \(\Rightarrow DE=EB\) Tương tự \(S_{ODC}=S_{OBC}\Rightarrow DF=FB\) \(\Rightarrow E\Xi F\) O, C, F thẳng hàng ; O, E, A thẳng hàng ; E = F \(\Rightarrow\) A, C, O, E thẳng hàng. Vậy O thuộc đường chéo AC. P/S: Cái chỗ \(E\Xi F\) là E và dấu bằng thêm gạch nữa là 3 )