Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Thu Hằng

Cmr nếu a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác thì \(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)

Akai Haruma
3 tháng 3 2019 lúc 0:27

Lời giải:

Để thuận mắt hơn ta sẽ đi CM:

\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2<0\)

Thật vậy:

\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\)

\(=(a^4+b^4+2a^2b^2)+c^4-4a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\)

\(=(a^2+b^2)^2+c^4-4a^2b^2-2c^2(a^2+b^2)\)

\(=(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2\)

\(=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)\)

\(=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]\)

\(=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)

\(=-(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c)\)

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên:

\(b+c-a>0; a+c-b>0; a+b-c>0; a+b+c>0\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=-(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c)<0\)

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
học cho cố vô rồi ngu si
Xem chi tiết
Mary Stephanie
Xem chi tiết
Bướm Đêm Sát Thủ
Xem chi tiết
Nhã Doanh
Xem chi tiết
minh nguyen thi
Xem chi tiết
Lê Thị Thế Ngọc
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
MOHAMET SALAS
Xem chi tiết
Bách Bách
Xem chi tiết