Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Thế Ngọc

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:a+2b+3c=4.CMR:\(\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2+abc\right)\)≤8

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 6 2019 lúc 23:05

\(8VT=4\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)\left(2ab^2+2bc^2+2ca^2+2abc\right)\le\left(a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2+3abc\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left(2a^2b+2b^2c+2c^2a+4ca^2+4ab^2+4bc^2+6abc\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left(2a^2b+2b^2c+2c^2a+4ca^2+4ab^2+4bc^2+9abc\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{32}\left[\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{512}\left[\left(a+2b\right)\left(4b+8c\right)\left(c+2a\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{512}\left(\frac{a+2b+4b+8c+c+2a}{3}\right)^6=\frac{1}{512}\left(a+2b+3c\right)^6=\frac{4^6}{512}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Thị Thế Ngọc
Xem chi tiết
Phan Hà Thanh
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Lê Thị Thế Ngọc
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Y
Xem chi tiết
minh nguyen thi
Xem chi tiết
Trần Khởi My
Xem chi tiết