Question

CMR: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+24abc\) với a, b, c ≥ 0

Answer 1

Đề sai nha . Phải là \(\left(a+b+c\right)^3\)

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si với a ; b ; c dương , ta có :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Answer 2

( a + b + c )^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( 1 ) Áp dụng BĐT Cô - si với a ; b ; c dương , ta có : ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 2 √ a b .2 √ b c .2 √ a c = 8 a b c ( 2 ) Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ⇒ ( a + b + c )^ 3 ≥ a ^3 + b^ 3 + c ^3 + 24 a b c Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c