Question

CM: Với mọi x, y, z thuộc R, ta có: \(x^4+y^4+z^4\ge xyz.\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

Với a, b, c là các số thực ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).

Chọn \(a=x^2;b=y^2;c=z^2\) ta có \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\). (1)

Chọn \(a=xy;b=yz;c=zx\) ta có \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz\left(x+y+z\right)\). (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm.