Question

CM:

\(\left(x+y+z\right)^3=\left(-x+y+z\right)^3+\left(x-y+z\right)^3+\left(x+y-z\right)^3+24xyz\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} -x+y+z=a\\ x-y+z=b\\ x+y-z=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=\frac{a+b}{2}\\ x=\frac{b+c}{2}\\ y=\frac{c+a}{2}\\ \end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\((x+y+z)^3=(\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2})^3=(a+b+c)^3\) (1)

Và:

\((-x+y+z)^3+(x-y+z)^3+(x+y-z)^3+24xyz\)

\(=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\(=(a+b+c)^3\) theo hằng đẳng thức đáng nhớ (2)

Từ (1);(2) suy ra đpcm.