Question

Chứng tỏ rằng \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ!

Answer 1

Giả sử \(\sqrt{5}\) không phải số vô tỉ

Đặt: \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) (m,n \(\in\) Z m;n khác 0 và ƯCLN(m;n)=1)

=> \(\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=5\)

=> m² = 5n²

=> m² \(⋮\) 5

=> m \(⋮\) 5

Đặt m = 5k

=> (5k)² = 5n²

=> 5n² = 25k²

=> n² = 5k²

=> n² \(⋮\) 5

=> n \(⋮\) 5

Mà m \(⋮\) 5 => ƯCLN(m;n) \(\ne\) 1 (trái với gt)

Vậy \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ.

Answer 2

Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ => \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\left(m;n\in Z;n\ne0\right)\); (|m|; |n|)=1

\(\Rightarrow5=\frac{m^2}{n^2}\)

=> 5.n² = m²

Giả sử p là ước nguyên tố của n \(\Rightarrow m^2⋮p\)

Mà p nguyên tố nên \(m⋮p\)

Lúc này; (|m|; |n|) = p (khác 1), trái với giả sử

=> \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ (điều phải chứng tỏ)