Question

Chứng tỏ rằng nếu phân số \(\frac{5n^2+1}{6}\) nhận giá trị là số tự nhiên với mọi n thuộc N thì các phân số \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{3}\) là các phân số tối giản.

Answer 1

Giải:
Ta có: \(\frac{5n^2+1}{6}=\frac{5n^2-5+6}{6}=\frac{5n^2-5}{6}+1\)

\(\Rightarrow\frac{5n^2-5}{6}\in N\) \(\Leftrightarrow\frac{5\left(n^2-1\right)}{6}\in N\) \(\Rightarrow5\left(n^2-1\right)⋮6\)

Lại có (5;6)=1 \(\Rightarrow n^2-1⋮6\)

\(\Rightarrow n^2-1=6k\Leftrightarrow n^2=6k+1\)

mà 6k+1 là số lẻ \(\Rightarrow\frac{n^2}{2}\) tối giản.

Vậy: \(\frac{n^2}{2}\) tối giản (đpcm)

Đến bước này rồi nhưng mik ngu nên k tính CM được cái còn lại.

Answer 2

Ta c/m được n² - 1 \(⋮\) 6

Khi đó n² lẻ \(\Rightarrow\) n lẻ \(\Rightarrow\) (n, 2) = 1 \(\Rightarrow\) \(\frac{n}{2}\) là p/s tối giản.

Dễ thấy n \(⋮̸\) 3 (Vì nếu n \(⋮\) 3 thì n² \(⋮\) 3 \(\Rightarrow\) n² - 1 \(⋮̸\) 3 \(\Rightarrow\) n² - 1 \(⋮̸\) 6, loại)

Do đó (n, 3) = 1 \(\Rightarrow\) \(\frac{n}{3}\) là p/s tối giản