Question

Chứng tỏ rằng nếu đa thức \(F(x)=\)\(a_n.x^n+a_{n-1}.x^{n-1}+....+a_1.x^1+a_0.x^0\) có tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì x=-1 là nghiệm của đa thức đó

Answer 1

Lời giải:

Không mất tổng quát, giả sử n chẵn.

Khi đó các hệ số bậc chẵn là: \(a_n, a_{n-2},...,a_0\), và các hệ số bậc lẻ là \(a_{n-1}, a_{n-3},...,a_1\). Theo bài ra ta có:

\(a_n+a_{n-2}+...+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_1(*)\)

Ta thấy \((-1)^k=\left\{\begin{matrix} \text{1 nếu k chẵn}\\ \text{-1 nếu k lẻ}\end{matrix}\right.\). Do đó:

\(F(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0x^0\)

\(\Rightarrow F(-1)=a_n(-1)^n+a_{n-1}(-1)^{n-1}+...+a_1(-1)+a_0\)

\(=a_n+(-1)a_{n-1}+a_{n-2}+(-1)a_{n-3}+....+(-1)a_1+a_0\)

\(=(a_n+a_{n-2}+...+a_0)-(a_{n-1}+a_{n-3}+...+a_1)\)

\(=0\) (do $(*)$)

Vậy \(F(-1)=0\), tức là $x=-1$ là nghiệm của đa thức $F(x)$