Xét hiệu :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge\frac{4ab}{ab}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Chứng minh rằng:\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\) ≥ \(\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\) ,trong đó a,b,c là các số thực không nhỏ hơn 1
Cho 3 số thực dương a, b, c.
Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a\left(a+b\right)}+\frac{c}{b\left(b+c\right)}+\frac{a}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+c\right)^2}+\frac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge1\)
xác định các số hữu tỉ a,b,c,d sao cho:
a,\(\frac{1}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{a}{x\left(x+1\right)}+\frac{b}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)
b,\(\frac{x^3}{x^4-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}+\frac{cx+d}{x^2+1}\)
c,\(\frac{2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x-2}\)
Cho a,b>0 thoả mãn a+b=1
CMR: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{25}{4}\)
Cho a, b, c là số ba số dương thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương và a + b + c = 1 thì \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2>33\)
Rút gọn biểu thức:
A= \(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)
\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\left(c-b\right)\right)}\)
1,cho a,b,c là số thực dương thỏa mãn
\(\frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}=3\)
và \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=1\)
Tính
\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\)
