Giả sử:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Vì cả 2 vế không âm nên:
\(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-2ab=4ab-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu"=" xảy ra khi:
\(\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\)
Điều giả sử luôn đúng nên:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Cách khác:
Giả sử:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge\dfrac{4ab}{4}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)(luôn đúng theo cauchy)
vậy \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
@Murana Karigara lắm chuyện quá cơ!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Dấu "=" sảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).
Vậy.............(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
Vâng theo em còn 1 cách nữa bác Hiếuạ(quẩy tung wall bác kia luôn)
Theo cauchy thần thánh: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Từ đó có thể biến đổi:
\(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Có điều phải chứng minh
Cách nữa.Phá wall cả bác nữa đấy Hiếu 3d
Theo cauchy thần thánh:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{4ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Ta có điều phải chứng minh
Ta cần chứng minh:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2}-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (cái này đúng)
Vậy ta có ĐPCM
