Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có : \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\)

không phải 1 số nguyên

Help me!!!

Answer 1

Giả sử \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\in Z^+\)(1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\right)^2=2n+4+2\sqrt{n^2+4n}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2+4n}\in Z\)

Đặt \(\sqrt{n^2+4n}=a\left(a\in N^+\right)\)

\(\Rightarrow a^2=n^2+4n\)

\(\Rightarrow a^2+4=n^2+4n+4=\left(n+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(n+2-a\right)\left(n+2+a\right)=4\)(*)

Mà (n+2-a)+(n+2+a)=2(n+2) là số nguyên chẵn

\(\Rightarrow n+2-a;n+2+a\) là hai số nguyên chẵn

=>(*) vô nghiệm

=>(1) mâu thuẫn =>đpcm