Question

Chứng minh rằng tổng: 2+2²+2³+.........+2²⁰⁰⁴  chia hết cho 42

Chú ý : Dùng đồng dư modul

Giải chi tiết hộ mình với nhé!

Answer 1

Đặt A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁴

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰⁰⁵

2A - A = (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰⁰⁵) - (2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁴)

A = 2²⁰⁰⁵ - 2

Ta có: \(2^6\equiv1\left(mod21\right)\)

=> \(2^{2004}\equiv1\left(mod21\right)\)

=> 2²⁰⁰⁴ - 1 chia hết cho 21

=> 2.(2²⁰⁰⁴ - 1) chia hết cho 42

=> 2²⁰⁰⁵ - 2 chia hết cho 42

=> A chia hết cho 42 (đpcm)

Answer 2

\(\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+2^5\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+...+2^{334}\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)\)

=\(126+2^5.126+...+2^{334}.126=126\left(1+2^5+2^{11}+...+2^{334}\right)\) chia hết cho 126 hay 42