Question

Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức a/b=c/d nếu có một trong các đẳng thức sau(giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa):

(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)

Answer 1

\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\dfrac{a+b-c-d}{a-b-c+d}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

\(\dfrac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\dfrac{a+b-c-d}{a-b-c+d}=\dfrac{\left(a+b+c+d\right)+\left(a+b-c-d\right)}{\left(a-b+c-d\right)+\left(a-b-c+d\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+d\right)-\left(a+b-c-d\right)}{\left(a-b+c-d\right)-\left(a-b-c+d\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a+2b}{2a-2b}=\dfrac{2c+2d}{2c-2d}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)

Áp dụng tính chất thêm một lần nữa , có :

\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)+\left(c-d\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{2b}{2d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)