Question

Chứng minh rằng nếu p và \(p^2\) + 2 là 2 số nguyên tố thì \(p^3\) + 2 cũng là số nguyên tố.

Answer 1

Lời giải:

-Nếu \(p=3\Rightarrow p^2+2=11\in\mathbb{P}\rightarrow p^3+2=29\) cũng là số nguyên tố.

-Nếu $p$ không chia hết cho $3$

Ta biết rằng một số chính phương khi chia cho $3$ luôn có dư là \(0\) hoặc \(1\)

Cách CM: Xét các TH \(p\) khi chia cho $3$ rồi khai triển \(p^2\) ta thu được đpcm.

Quay về bài toán, vì đang xét TH $p$ không chia hết cho $3$ nên $p^2$ chia $3$ dư $1$. Do đó $p^2+2$ chia hết cho $3$, mà $p^2+2$ lớn hơn $3$ , nên không thể là số nguyên tố .

Vậy để thỏa mãn đkđb thì $p=3$, kéo theo $p^3+2$ là số nguyên tố (đpcm)

Answer 2

Câu này ở đâu vậy