Lời giải:
Do $a+b=1$ nên:
\(a^2+b^2-\frac{1}{2}=a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}\)
\(=\frac{a^2+b^2-2ab}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương và a + b + c = 1 thì \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2>33\)
Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a^2 + b^2 ≥ 1/2
Cho a+b=c
Chứng minh rằng (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))2 = \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
Chứng minh rằng nếu a.b.c=a+b+c và 1/a+1/b+1/c=2 thì 1/a^2+1/b^2+1/c^2=2
Chứng minh rằng: Nếu 3 số thực a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\) thì trong 3 số đó luôn tồn tại 2 số đối nhau
1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016]= x-2017
2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: \(a+\frac{2020}{b}=b+\frac{2020}{c}=c+\frac{2020}{a}\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2=2020^3\)
3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: \(\left(a+b+c\right)\times\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
5. Cho a >0, b >0, c >0. Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) ≥ 3
Chứng minh rằng nếu a+b=1 thì a2+b2>hoặc = 1/2
Cho \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)
